- پنجشنبه ۱ اسفند ۹۸
- ۰۰:۰۰
حل مسئله دنباله ها : گروه B
ابتدا برای به دست آوردن الگوی تعداد مثلث های داده شده، تا جمله سوم تعداد آنها را محاسبه می‌کنیم. در مورد تعداد مثلث های رنگی به الگوی میرسیم متوجه می‌شویم که تعداد آنها توان هایی از 3 هستند بعد با توجه به رابطه بین توان ها و شماره جمله ها متوجه می‌شویم که توان هر جمله یکی کمتر از شماره جمله است. بنابراین برای شمارش تعداد مثلث های رنگی در جمله N اُم به این فرمول میرسیم:
32 = 9 |
31 = 3 |
3 = 1 |
تعداد مثلث های رنگی |
4 |
1 |
0 |
تعداد مثلث های غیر رنگی |
روش های حل مسئله ایی که دوستان پیشنهاد دادند :
روش اول : در مورد تعداد مثلث های غیر رنگی با کمی دقت متوجه می‌شویم که رابطه ای بین این مثلث های رنگی و غیر رنگی وجود دارد :
1 + تعداد مثلث های رنگی × 2 = تعداد مثلث های رنگی
بنابراین فرمول تعداد مثلث های سفید این طور خواهد بود :
های رنگی مثلث تعداد-12 تعداد مثلث های غیر رنگی =
و با جایگذاری داریم : منظور (سه به توان n منهای 1) 3n-1-12 تعداد مثلث های غیر رنگی در جمله n ام
روش دوم : اگر بخواهیم بدون استفاده از تعداد مثلث های رنگی تعداد مثلت های غیر رنگی را محاسبه کنیم و بخواهیم بین مثلث های غیر رنگی رابطه ای پیدا کنیم.
و جمله N اُم را پیدا کنیم داریم :
جمله n |
جمله سوم |
جمله دوم |
جمله یک |
+ ... + 31 + 30 + 0 3n-2 |
31 + 30 + 0 |
30 + 0 |
0 |
فرمول به دست آوردن مجموع توان های 3 از توان 0 تا توان n-2 برابر خواهد بود با
0+30+31+32+ …+3n-2 3n-1-12
و این فرمول با جایگذاری عدد در فرمول اصلی زیر به دست می‌آید و قابل اثبات است.
a0 + a1 + a2 + … + an-1 = an-1n-1
منظور a به توان n منهای 1
مسئله دوم :
با توجه به شکل متوجه می شویم که از شکل 2 به بعد به شکل شماره قبل تعدادی مثلث اضافه شده که آن ها را رنگ زده ایم.
با کمی دقت بین آ نها رابطه ای پیدا می کنیم :
جمله یک |
جمله دو |
جمله سه |
جمله 4 |
1+3(0) 1+3(0+1) 1+3(1+2) 1+3(1+2+3) |
1+3 (0+1+2+….+n-1) |
بنابراین داریم :
= تعداد مثلث ها در جمله nام
در نتیجه به طور خلاصه فرمول برابرخواهد شد با :
1+3n-1*n2 |
دوستان جهت مطالعه و نمایش بهتر مطالب می توانید فایل pdf زیر را دانلود نمایید .
- ۱۶۲
